Hermitian K-theory for stable ∞-categories I: Foundations
Selecta Mathematica, vol. 29, 2022
(1ère mise en ligne de la prépublication le 16-09-2020)
Ceci est le premier article d'une série sur la K-théorie hermitienne des ∞-catégories stables munis de foncteurs quadratiques. Ce cadre souple permet à la fois de retrouver les constructions plus classiques de K-théorie hermtienne (anneaux à involutions, dg-catégories avec dualité, etc.) en s'affranchissant de toute hypothèse d'inversibilité de 2, mais aussi d'exprimer la propriétés universelle de la K-theorie hermitienne et son lien avec la K-théorie et la L-théorie.
Dans ce premier article, nous passons en revue le formalisme de base des foncteurs quadratiques, nous définissons les ∞-catégories de Poincaré qui sont une ∞-catégorie stable muni d'un foncteur quadratique vers les spectres, satisfaisant à une condition de non-dégénérescence. C'est une abstraction de la catégorie des modules et du foncteur qui envoie un module sur le groupe abélien des formes quadratiques sur ce module. Les objets de Poincaré sont alors une abstraction de la notion de forme quadratique.
Ce formalisme permet d'englober différents types de formes (quadratiques, symétriques, hermitiennes, etc.), et d'en considérer les versions sur les catégories dérivées. Nous classifions d'ailleurs toutes les structures de Poincaré sur la catégorie dérivée des complexes parfaits sur un anneau.
Nous étudions également à l'∞-catégorie des ∞-catégories de Poincaré, qui est bicomplète et symétrique monoïdale close, et nous étudions sa tensorisation et cotensorisation par un complexe simplicial fini. Ces constructions qui pourraient paraître anormalement abstraites jouent en fait un rôle fondamental lors de la définition du spectre de Grothendieck-Witt.
Enfin, nous définissons le groupe de Grothendieck-Witt (de degré 0) par générateurs et relations et nous le relions aux groupes (de degré 0) de K-théorie et de L-théorie. Ces groupes et cette relation sont étendus aux spectres dans l'article suivant.
