Hermitian K-theory for stable ∞-categories II: Cobordism categories and additivity
avec Emanuele Dotto, Yonatan Harpaz, Fabian Hebestreit, Markus Land, Kristian Moi, Denis Nardin, Thomas Nikolaus et Wolfgang Steimle
1ère mise en ligne le 16-09-2020
MSC 2010: 11E70, 18F25 (Primary), 11E39, 11E81, 19D25 (Secondary)Ceci est le deuxième article d'une série sur la K-théorie hermitienne des ∞-catégories stables munis de foncteurs quadratiques. Le premier, qui contient les bases du formalisme, se trouve ici: Foundations.
Dans ce deuxième article, nous associons à une ∞-catégorie de Poincaré un spectre de Grothendieck-Witt. Il peut être concrètement construit par une forme de Q-construction hermitienne que nous voyons sous l'angle des catégories de cobordismes. Le foncteur spectre de Grothendieck-Witt des ∞-catégories de Poincaré vers les spectres est également caractérisé par une propriété universelle d'additivité.Nous montrons un certain nombre de propriétés fondamentales du spectre de Grothendieck-Witt. Par exemple:
- il se place dans une suite fibre entre les coinvariants de l'action de la dualité sur la K-théorie et la L-théorie;
- il est le produit fibré dans un carré cartésien comprenant la L-théorie, les invariants et les points fixes de Tate de la K-théorie par l'action de la dualité;
- il se place dans une suite fibre (que nous appelons de Bott-Genauer) qui permet l'induction de Karoubi.
Nous formulons et prouvons la périodicité de Karoubi dans un cadre général de spectres équivariants authentiques ("genuine") et nous en déclinons les conséquence dans les exemples concrets de catégories de modules.
