SK₂ of a biquaternion algebra

Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, issue 605, 2007, p. 121-235
(1^ère mise en ligne de la prépublication le 2-9-2003)

Le théorème principal de cet article relie SK, le noyau de la norme réduite pour la K-théorie d'une algèbre de biquaternions a un groupe de cohomologie galoisienne. Il s'énonce ainsi: soient

• F un corps de caractéristique différente de 2 contenant un sous-corps algébriquement clos,
• q une forme quadratique d'Albert (de dimension 6) et q' une sous-forme de codimension 1,
• D l'algébre de biquaternions associée à q (essentiellement son invariant de Clifford),
• F(q) le corps des fonctions de la quadrique projective d'équation q=0,

alors, pour i=0, 1 ou 2, on a une suite exacte:

où le premier groupe est un groupe de K-cohomologie (noyau de la norme pour le dernier terme du complexe de Gersten de la quadrique projective associée à q').
C'est une généralisation au cas de K₂ d'un théoréme de M. Rost (voir [1]) et sa preuve passe par les mêmes étapes principales. Toutefois, le groupe K₂ étant nettement moins bien connu que le groupe K₁, les techniques de preuve employées sont différentes de celles de M. Rost. Par exemple, il est fait usage de la cohomologie motivique, ainsi que de l'isomorphisme exceptionnel entre SL₄ et Spin₆.

[1] A. S. Merkurjev, K-theory of Simple Algebras, K-theory and Algebraic Geometry: connections with quadratic forms and division algebras, Proc. Symp. Pure Math., vol. 1, n. 58 (1995), p. 65-83