Conférence de clôture

Résumés - Abstracts

(travail en commun avec Tingyu Lee et R. Parimala)
D'après Hasse, le "principe de norme" vaut pour les extensions cycliques de corps de nombres, autrement dit tout élément du corps de base qui est localement une norme est une norme globale. Nous étudions une question analogue dans le cas plus général d'une extension finie étale; comme une telle extension est un produit de corps, cela conduit à des produits de normes, d'où le terme de "multinorme". Lorsque l'un de ces corps est une extension cyclique, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que le principe soit valable.

Soit \(k\) un corps de type fini et de caractéristique \(p \geq 0\), \(S\) une variété sur \(k\) et \(X \to S\) un morphisme projectif et lisse. J'expliquerai comment, en utilisant une représentation l-adique (\(l \neq p\)) du groupe fondamental de \(S\), on peut décrire l'ensemble \(S° \subset S\) des \(s\) de \(S\) où l'application de spécialisation induite sur les deux premiers termes du groupe de Chow gradué associé à la filtration d'Abel-Jacobi l-adique n'est pas injective. Si \(S\) est une courbe (resp. et \(p=0\)), on en déduit que \(S°(k)\) est fini (resp. qu'il n'y a qu'un nombre fini de \(s\) dans \(S°\) de degré résiduel \(\leq d\) sur \(k\)).
Let \(k\) be a field of finite type and characteristic \(p \geq 0\), \(S\) a variety and \(X\to S\) a smooth projective morphism. I will explain how, using an l-adic representation (\(l \neq p\)) of the fundamental group of \(S\), one can describe the set \(S°\) included in \(S\) of the \(s\) in \(S\) where the specialization map induced on the two first pieces of the graded Chow group attached to the l-adic Abel-Jacobi filtration is not injective. If \(S\) is a curve (resp. and \(p=0\)), one deduces that \(S°(k)\) is finite (resp. that there are only finitely \(s\) in \(S°\) of residue degree \(\leq d\) over \(k\)).

Soit \(X\) une surface projective lisse géométriquement rationnelle sur un corps \(k\) de caractéristique zéro. Soit \(Y\) une une compactification lisse d’un torseur universel de \(X\) possédant un \(k\)-point. C’est une question ouverte de savoir si \(Y\) est \(k\)-birationnelle à un espace projectif. Dans cette exposé, on s’intéresse au quotient du troisième groupe de cohomologie non ramifiée de \(Y\) à coefficients \(Q/Z(2)\) par sa partie constante. On donnera une condition suffisante en termes de la structure galoisienne du groupe de Picard géométrique de \(X\) assurant que ce groupe est nul. Ceci permet de montrer que le groupe ci-dessus est réduit à sa partie 2-primaire si \(X\) est une surface de del Pezzo de degré au moins 2.

La catégorie triangulée des motifs à la Voevodksy est par définition le lieu où étudier les (complexes de) faisceaux avec transferts qui sont invariants par homotopie. D'un autre côté, il y a de nombreux exemples de faisceaux invariants par homotopie qui n'ont pas de transferts au sens ci-dessus. Citons par exemple les faisceaux d'homotopie supérieurs (stable ou instable) d'espaces dans la catégorie homotopique des schémas de Morel-Voevodksy, qui jouent un rôle central dans la classification d'objets classiques tels que les fibrés vectoriels. La compréhension de la cohomologie de ces faisceaux et de ses propriétés est donc importante. Dans un travail en commun avec plusieurs collaborateurs (Calmès, Déglise, Ostvaer), nous construisons une généralisation de la catégorie de Voevodsky, la catégorie dérivée des W-motifs citée dans le titre. Dans cet exposé, nous énonceront les propriétés de base de cette catégorie.

J'expliquerai des conséquences formelles nouvelles du théorème de Hilbert 90, en théorie des représentations galoisiennes. Entre autres, je démontrerai l'énoncé suivant. Soit \(F\) un corps quelconque, de groupe de Galois absolu \(G\). Soit \(V\) une représentation galoisienne de \(G\) de dimension 2, sur un corps parfait \(k\) de caractéristique \(p>0\). Alors \(V\) se relève (au moins stablement) en caractéristique nulle, i.e. en une représentation continue, sur l'anneau des vecteurs de Witt \(W(k)\). Lorsque \(k\) est de caractéristique 2 (resp 3), ce résultat s'étend aux représentations de dimension 4 (resp 3). Il s'agit d'une portion d'un travail en cours avec Charles De Clercq.

Prasad et Rapinchuk ont étudié le problème d’isospectralité pour certaines variétés riemanniennes; cela a conduit à analyser dans quelle mesure un groupe algébrique semi-simple défini sur un corps de nombres est déterminé par ses tores maximaux. L’exposé présentera un rapport sur plusieurs résultats récents sur ce thème, notamment de Chernousov/Rapinchuk/Rapinchuk et Bayer-Fluckiger/Lee/Parimala.

Soit \(k\) un corps \(p\)-adique ou \(\mathbb{C}((t))\). Considérons \(X\) une courbe projective lisse géométriquement intègre sur \(k\) et notons \(K\) son corps des fonctions. Pour chaque point fermé \(v\) de \(X\), soit \(K_v\) le complété de \(K\) par rapport à \(v\). Le but de cet exposé est de présenter des énoncés de dualité arithmétique pour la cohomologie galoisienne des variétés abéliennes sur les corps \(K_v\), puis d'obtenir des énoncés de dualité pour certains groupes de Tate-Shafarevich de variétés abéliennes sur le corps \(K\).

(travail en commun avec Jens Nikla Eberhardt)
Déterminer les caractères de tous les \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)\)-modules simples rationnels est un problème fondamental dans la théorie des représentations. Contrairement au cas de caractéristique zéro, ce problème est grand ouvert et le sujet de recherche actuelle. Il y a 15 ans, Soergel proposa une stratégie via des méthodes géométriques: Il traduisit le problème (au moins pour certains modules simples) en une question sur des faisceaux sur la variété des drapeaux.
Dans cet exposé, on présente une amélioration de ses annonces, remplaçant les faisceaux par des motifs, en s'appuyant sur les travaux d'Ayoub, Cisinski-Déglise et Geisser-Levine. Utilisant l'exemple de \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)\), je discuterai de la motivation de la théorie des représentations, je décrirai la catégorie \(\mathcal{O}\) de Soergel, et notre construction motivique, et je parlerai de quelques directions à poursuivre dans l'avenir.

Colliot-Thélène a conjecturé que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule obstruction au principe de Hasse et à l'approximation faible pour les variétés rationnellement connexes, donc en particulier pour les espaces homogènes. Dans cet exposé, après avoir rappelé les bases de cette obstruction, je montrerai comment cette question a été réduite aujourd'hui au cas des espaces homogènes de \(\mathrm{SL}_n\) à stabilisateur fini. (Notez que ce dernier cas est pourtant loin d'être résolu, car une réponse positive implique une version très forte du problème de Galois inverse !)

Dans cette exposé on discutera quelques constructions de fibrés en quadriques de dimension d=1 ou 2, au-dessus de l'espace projectif complexe de dimension n=2 ou 3, dont le groupe de Brauer non ramifié est nontrivial, ainsi que des applications pour des problèmes de rationalité (travail en commun avec B. Hassett et Y. Tschinkel et travail en commun avec A. Auel, C. Böhning et H.-C. von Bothmer).

We will explain how to define equivariant hermitian K-theory groups in a very general setting, formulated using the machinery of stacks and Marco Schlichting's dg (differential graded) category with weak-equivalences and duality formalism.

In the talk I will present a formula for the equivariant Chow motive of the variety of full flags of a split semisimple algebraic group. This formula involves degrees of generators of the kernel of the characteristic map, which were computed by Kac. In some cases Kac's degrees coincide with codimensions of Rost motives, where they have non-zero Chow groups. Besides, they are related to Chow groups of classifying spaces of some algebraic groups. This is a joint work with Victor Petrov.

Par équivalence de Morita, toute forme anti-hermitienne sur une algèbre de quaternions donne après extension des scalaires une forme bilinéaire symétrique sur le corps des fonctions de la conique de Severi-Brauer de l’algèbre. Comme le noyau de Witt de l’extension des scalaires est nul, deux formes anti-hermitiennes sont isométriques si et seulement si leurs formes bilinéaires symétriques associées le sont. Cette propriété ne vaut pas pour la relation de similitude: par une analyse de l’homomorphisme d’extension des scalaires entre groupes de Witt, on montre comment obtenir des exemples de formes anti-hermitiennes qui ne sont pas semblables alors que les formes bilinéaires associées le sont. (Travail en collaboration avec Anne Quéguiner-Mathieu)